METODE HINGGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Salah satu cara utk menyelesaikan persamaan differential adalah dengan menggunakan metode beda hingga atau yg lbh dikenal dgn finite difference method. Metode ini menggunakan pendekatan ekspansi Taylor di titik acuannya (x). Ada tiga jenis beda (difference) yg bisa kita gunakan utk mencari nilai f(x+∆x). Ketiga jenis beda ini disebut forward difference, backward difference, dan central difference. Supaya gak lupa, penurunannya saya berikan di sini.

Forward difference

Utk forward difference, kita ingin mencari nilai suatu fungsi jika independent variablenya digeser ke depan (makanya namanya forward difference) sebesar ∆x. Sederhananya, jika kita tahu f(x), maka berapakah f(x+∆x)? Ekspansi Taylor dituliskan sbb:

Secara umum, symbol ∂f/∂x*∆x menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi f pada f(x) jika x digeser sebesar ∆x. Sementara symbol ∂²f/∂x² menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik f(x) tsb jika x digeser sebesar ∆x.

Oleh karena nilai setelah term pertama di atas tidak signifikan dibandingkan dgn term kedua, maka bisa kita bilang klo:

Hubungan di atas menunjukkan kemiringan (gradient) dari fungsi tsb sebesar ∆x ke depan (lbh besar dari x).

Backward difference

Pertanyaan yg sama jg kita berikan utk backward difference. Jika kita tahu f(x), maka berapakah f(x-∆x)? Atau berapakah nilai fungsi tsb jika independent variablenya digeser ke belakang sebesar ∆x. Ekspansi Taylor dituliskan sbb:

 

Hubungan terakhir ini menunjukkan kemiringan (gradient) dari fungsi tsb sebesar ∆x ke belakang (lbh kecil dari x).

Central difference

Jenis bedar ketiga adalah beda tengah, di mana kita akan mencari kemiringan dari fungsi tsb dgn menggunakan perbedaan nilai fungsinya dari beda depan dan beda belakang. Secara matematis, beda tengah adalah penjumlahan dari beda depan dan beda belakang.

Second order derivation

Setelah pendekatan orde satu bisa kita turunkan spt di atas, skrg kita bisa menurunkan persamaan utk pendekatan orde dua. Penurunan di bawah ini saya mulai dari mengambil persamaan orde satu dari beda depan (forward difference) yg mengandung penurunan orde dua (second order differential). Fungsi ∂²f/∂x² saya keluarkan, dan persamaan utk ∂f/∂x nya saya ambil dari pendekatan beda belakang (backward difference).

Dengan adanya dua pendekatan (orde satu dan orde dua) ini, kita bisa bekerja dgn contoh berikut:

Penyelesaian analitiknya adalah sbb:

Kondisi batas yg kita ketahui adalah sbb:

u pada r = 2 atau u(2) = 0.008

u(6.5) = 0.003

Yg ditanyakan adalah berapa nilai u di antara kedua nilai batas di atas.

Dengan metode beda hingga ini, kita akan membuat node2. Katakanlah kita buat 4 node. Node yg pertama adalah saat u(2), dan node yg keempat adalah u(6.5). 4 node yg kita pilih terdiri atas 3 rentang, yakni rentang node 1-2, rentang node 2-3, dan rentang node 3-4. Jarak rentang tsb adalah (6.5-2)/3 = 1.5. Maka, node 2 adalah 2+1.5 = 3.5. Node 3 adalah 3.5+1.5 =5. Yg skrg ingin kita ketahui tentunya adalah nilai u pada saat r = 3.5 atau u(3.5) dan u(5).

Utk yg pertama ini, kita akan gunakan pendekatan beda maju utk orde satu. Dengan memasukkan pendekatan yg udah kita turunkan ke persamaan diferensial di atas, kita dapat:

, dgn i = node.

Persamaan ini kita utak-atik utk mendapatkan penyelesaian utk u_i, sehingga kita bisa menyusun persamaan utk u₂ dan u₃. Sementara u₁ dan u₄ sudah kita ketahui sebagai kondisi batas. Klo saya selesaikan di excel, akan didapat sbb:

Perbandingan hasil pendekatan ini dengan hasil analitiknya menghasilkan error sebesar 6.66% utk u₂ atau u(3.5) dan error sebesar 5.12% utk u₃ atau u(5).

Jika saya gunakan beda tengah utk pendekatan orde satu, akan diperoleh hasil sbb:

 

Hasil perhitungan dgn pendekatan beda tengah ternyata lbh akurat drpd pendekatan beda maju (dan jg drpd beda mundur). Error utk u(3.5) menjadi 2.43% dan error utk u(5) menjadi 1.68%.

Jika saya menggunakan node yg lbh banyak, dalam artian saya melakukan perhitungan yg lbh detail, dengan 8 node misalnya. Dan tetap menggunakan beda tengah, akan didapat hasil sbb:

Spt yg diharapkan klo hasil perhitungan dgn node yg semakin banyak atau perhitungan semakin detail, maka hasilnya akan mendekati hasil analitiknya. Error yg diperoleh utk setiap r di atas semuanya di bawah 0.5%.

ANALISIS REGRESI SEDERHANA

NAMA: RIFALDY SAPUTRA S.

NO. STAMBUK: 17 630 084 

Analisis Regresi Sederhana adalah sebuah metode pendekatan untuk pemodelan hubungan antara satu variabel dependen dan satu variabel independen. Dalam model regresi, variabel independen menerangkan variabel dependennya. Dalam analisis regresi sederhana, hubungan antara variabel bersifat linier, dimana perubahan pada variabel X akan diikuti oleh perubahan pada variabel Y secara tetap. Sementara pada hubungan non linier, perubahaan variabel X tidak diikuti dengan perubahaan variabel y secara proporsional. seperti pada model kuadratik, perubahan x diikuti oleh kuadrat dari variabel x. Hubungan demikian tidak bersifat linier.
Secara matematis model analisis regresi linier sederhana dapat digambarkan sebagai berikut:
Y = A + BX + e
Y adalah variabel dependen atau respon
A adalah intercept atau konstanta
B adalah koefisien regresi atau slope
e adalah residual atau error
Secara praktis analisis regresi linier sederhana memiliki kegunaan sebagai berikut:
1. Model regresi sederhana dapat digunakan untuk forecast atau memprediksi nilai Y. Namun sebelum melakukan forecasting, terlebih dahulu harus dibuat model atau persamaan regresi linier. Ketika model yang fit sudah terbentuk maka model tersebut memiliki kemampuan untuk memprediksi nilai Y berdasarkan variabel Y yang diketahui. Katakanlah sebuah model regresi digunakan untuk membuat persamaan antara pendapatan (X) dan konsumsi (Y). Ketika sudah diperoleh model yang fit antara pendapatan dengan konsumsi, maka kita dapat memprediksi berapa tingkat konsumsi masyarakat ketika kita sudah mengetahui pendapatan masyarakat.
2. Mengukur pengaruh variabel X terhadap variabel Y. Misalkan kita memiliki satu serial data variabel Y, melalui analisis regresi linier sederhana kita dapat membuat model variabel-variabel yang memiliki pengaruh terhadap variabel Y. Hubungan antara variabel dalam analisis regresi bersifat kausalitas atau sebab akibat. Berbeda halnya dengan analisis korelasi yang hanya melihat hubungan asosiatif tanpa mengetahui apa variabel yang menjadi sebab dan apa variabel yang menjadi akibat.
Model regresi linier sederhana yang baik harus memenuhi asumsi-asumsi berikut:
1. Eksogenitas yang lemah, kita harus memahami secara mendasar sebelum menggunakan analisis regresi bahwa analisis ini mensyaratkan bahwa variabel X bersifat fixed atau tetap, sementara variabel Y bersifat random. Maksudnya adalah satu nilai variabel X akan memprediksi variabel Y sehingga ada kemungkinan beberapa variabel Y. dengan demikian harus ada nilai error atau kesalahan pada variabel Y. Sebagai contoh ketika pendapatan (X) seseorang sebesar Rp 1 juta rupiah, maka pengeluarannya bisa saja, Rp 500 ribu, Rp 600 ribu, Rp 700 ribu dan seterusnya.
2. Linieritas, seperti sudah dijelaskan sebelumnya bahwa model analisis regresi bersifat linier. artinya kenaikan variabel X harus diikuti secara proporsional oleh kenaikan variabel Y. Jika dalam pengujian linieritas tidak terpenuhi, maka kita dapat melakukan transformasi data atau menggunakan model kuadratik, eksponensial atau model lainnya yang sesuai dengan pola hubungan non-linier.
3. Varians error yang konstan, ini menjelaskan bahwa varians error atau varians residual yang tidak berubah-ubah pada respon yang berbeda. asumsi ini lebih dikenal dengan asumsi homoskedastisitas. Mengapa varians error perlu konstan? karena jika konstan maka variabel error dapat membentuk model sendiri dan mengganggu model. Oleh karena itu, penanggulangan permasalahan heteroskedastisitas/non-homoskedastisitas dapat diatasi dengan menambahkan model varians error ke dalam model atau model ARCH/GARCH.
4. Autokorelasi untuk data time series, jika kita menggunakan analisis regresi sederhana untuk data time series atau data yang disusun berdasarkan urutan waktu, maka ada satu asumsi yang harus dipenuhi yaitu asumsi autokorelasi. Asumsi ini melihat pengaruh variabel lag waktu sebelumnya terhadap variabel Y. Jika ada gangguan autokorelasi artinya ada pengaruh variabel lag waktu sebelumnya terhadap variabel Y. sebagai contoh, model kenaikan harga BBM terhadap inflasi, jika ditemukan atukorelasi artinya terdapat pengaruh lag waktu terhadap inflasi. Artinya inflasi hari ini atau bulan ini bukan dipengaruhi oleh kenaikan BBM hari ini namun dipengaruhi oleh kenaikan BBM sebelumnya (satu hari atau satu bulan tergantung data yang dikumpulkan)

UJI ANOVA ( UJI F )

NAMA       :   RIFALDY SAPUTRA SALAMUDIN

NPM           :   17 630 084

UJI ANOVA ( UJI F )

·         Pengertian ANOVA

Anova adalah sebuah analisis statistik yang menguji perbedaan rerata antar grup. Grup disini bisa berarti kelompok atau jenis perlakuan. Anova ditemukan dan diperkenalkan oleh seorang ahli statistik bernama Ronald Fisher.

Anova merupakan singkatan dari Analysis of variance. Merupakan prosedur uji statistik yang mirip dengan t test. Namun kelebihan dari Anova adalah dapat menguji perbedaan lebih dari dua kelompok. Berbeda dengan independent sample t test yang hanya bisa menguji perbedaan rerata dari dua kelompok saja.

Dalam kesempatan bahasan kali ini, statistikian akan menjelaskannya secara singkat namun dengan penuh harapan agar para pembaca mudah memahami dan mempraktekkannya dalam penelitian di lapangan nantinya.

Kegunaan Anova

Anova digunakan sebagai alat analisis untuk menguji hipotesis penelitian yang mana menilai adakah perbedaan rerata antara kelompok. Hasil akhir dari analisis ANOVA adalah nilai F test atau F hitung. Nilai F Hitung ini yang nantinya akan dibandingkan dengan nilai pada tabel f. Jika nilai f hitung lebih dari f tabel, maka dapat disimpulkan bahwa menerima H1 dan menolak H0 atau yang berarti ada perbedaan bermakna rerata pada semua kelompok.

Analisis ANOVA sering digunakan pada penelitian eksperimen dimana terdapat beberapa perlakuan. Peneliti ingin menguji, apakah ada perbedaan bermakna antar perlakuan tersebut.

·         Contoh ANOVA

Contohnya adalah seorang peneliti ingin menilai adakah perbedaan model pembelajaran A, B dan C terhadap hasil pembelajaran mata pelajaran fisika pada kelas 6. Dimana dalam penelitian tersebut, kelas 6A diberi perlakuan A, kelas 6B diberi perlakuan B dan kelas 6C diberi perlakuan C. Setelah adanya perlakuan selama satu semester, kemudian dibandingkan hasil belajar semua kelas 6 (A, B dan C). Masing-masing kelas jumlahnya berkisar antara 40 sampai dengan 50 siswa.

Hasil akhir yang didapatkan adalah nilai f hitung. Nilai tersebut dibandingkan dengan nilai dalam tabel f pada derajat kebebasan tertentu (degree of freedom). Jika F hitung > F Tabel, maka disimpulkan bahwa menerima H1 atau yang berarti ada perbedaan secara nyata atau signifikan hasil ujian siswa antar perlakuan model pembelajaran.

·         Anova Dalam Regresi Linear

Kadang para pembaca cukup dibingungkan oleh adanya tabel ANOVA pada hasil analisis regresi linear. Tentunya jika anda mengerti maksud sesungguhnya dari uji yang satu ini, maka anda tidak akan bingung lagi. Anova dalam perhitungannya membandingkan nilai mean square dan hasilnya adalah menilai apakah model prediksi linear tidak berbeda nyata dengan nilai koefisien estimasi dan standar error.

·         Ciri-ciri ANOVA

Ciri khasnya adalah adanya satu atau lebih variabel bebas sebagai faktor penyebab dan satu atau lebih variabel response sebagai akibat atau efek dari adanya faktor. Contoh penelitian yang dapat menggambarkan penjelasan ini: “Adakah pengaruh jenis bahan bakar terhadap umur thorax mesin.” Dari judul tersebut jelas sekali bahwa bahan bakar adalah faktor penyebab sedangkan umur thorax mesin adalah akibat atau efek dari adanya perlakuan faktor. Ciri lainnya adalah variabel response berskala data rasio atau interval (numerik atau kuantitatif).

Anova merupakan salah satu dari berbagai jenis uji parametris, karena mensyaratkan adanya distribusi normal pada variabel terikat per perlakuan atau distribusi normal pada residual. Syarat normalitas ini mengasumsikan bahwa sample diambil secara acak dan dapat mewakili keseluruhan populasi agar hasil penelitian dapat digunakan sebagai generalisasi. Namun keunikannya, uji ini dapat dikatakan relatif robust atau kebal terhadap adanya asumsi tersebut.

Berikut adalah langkah-langkah dalam perhitungan ANOVA satu jalur:

(a) Tentukan k atau banyaknya perlakuan,

(b) Tentukan n atau banyaknya sampel,

(c) Hitung jumlah kuadrat total dengan rumus:

(d) Hitung jumlah kuadrat perlakuan dengan rumus:

(e) Cari harga F-Hitung dengan menggunakan rumus yang tertera pada tabel berikut,

(f) Cari harga F tabel dengan mempertimbangkan (1) tingkat signifikansi (α), (2) df antar perlakuan, dan (3) df dalam perlakuan,

(g) Bandingkan harga F Hitung dengan F tabel,

1.      Bila F Hitung < F tabel, maka Ho diterima, yang berarti rata-rata kedua perlakuan tidak berbeda secara signifikan,

2.      Bila F Hitung > F tabel, maka Ho ditolak dan H1 diterima, yang berarti rata-rata kedua perlakuan berbeda secara signifikan.

NILAI PENYIMPANGAN DATA

NILAI PENYIMPANGAN DATA

Ukuran Penyebaran/penyimpangan adalah suatu ukuran baik parameter atau statistika untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya. Ukuran ini kadang-kadang dinamakan pula ukuran variasi, yang menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif.

Untuk mengukur tingkat penyimpangan dari suatu nilai variabel dapat digunakan dengan tiga cara, yaitu ukuran jarak (range) yang merupakan selisih data terbesar dengan data terkecil, simpangan rata-rata (deviasi rata-rata) dan simpangan baku (deviasi standart).

RANGE

            Jarak atau kisaran nilai (range) merupakan ukuran yang paling sederhana dari ukuran penyebaran. Jarak merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel. Semakin kecil ukuran jarak menunjukan karakter yang lebih baik, karena berarti data mendekati nilai pusat dan kompak.

RANGE= NILAI TERBESAR-NILAI TERKECIL

Contoh Range :

Berikut merupakan laju inflasi dari Negara Indonesia, Malaysia, dan Thailand. Hitung range-nya!

TAHUN	Laju Inflasi (%)
	Indonesia	Thailand	Malaysia
2002	10	2	2
2003	5	2	1
2004	6	3	2
2005	17	6	4
2006	6	3	3

Penyelesaian :

Nilai	Indonesia	Thailand	Malaysia
Tertinggi	17	6	4
Terendah	5	2	1
Jarak	17-5=12	6-2=4	4-1=3

SIMPANGAN RATA-RATA (MEAN DEVIATION)

            Deviasi rata-rata adalah rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dnegan rata-rata hitungnya.

Bentuk rumus deviasi rata-rata  ini biasa disingkat dengan MD (mean deviation) atau AD (average deviation), rumus rumus tersebut dapat kita lihat dibawah ini:

Untuk rumus sampel digunakan X sebagai pengganti µ sebagai berikut

Contoh :
Dari contoh soal yang pertama kita dapat lanjutkan dengan berikut ini:

• Untuk mendapatkan nilai | xi – x |, kita bisa jumlahkan nilai pengamatan dan di bagi dengan jumlah yang diteliti.
• Untuk soal yg diatas berarti: 39 / 6 = 6.5. Karena contoh di atas menggunakan data sampel, sehingga rumus yang digunakan juga menggunakan notasi sampel.
  MD = 7 / 6 = 1.17.

 

VARIANS

Varians dan standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yang menunjukan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap nilai rata-ratanya.

Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Varians dapat dibedakan antara varians populasi dan varians sampel. Varians populasi (σ dibaca tho) adalah deviasi kuadrat dari setiap data terhadap rata-rata hitung semua data dalam populasi. Varians sampel adalah deviasi kuadrat dari setiap data rata-rata hitung terhadap semua data dalam sampel dimana sampel adalah bagian dari populasi

.

Varians memiliki kelemahan dimana nilai varians dalam bentuk kuadrad, seperti tahun kuadrat dalam hal tertentu lebih suit menginterpretasikannya dibandingkan dengan ukuran range yang merupakan selisih nilai tertinggi dan nilai terendah atau deviasi rata-rata yang merupakan rata-rata hitung selisih data dari rata-rata hitungnya. Oleh sebab itu, untuk memperoleh satuian yang sama dengan satuan data awal, maka dilakukan dengan mencari akar kuadrad dari varians populasi. Akar kuadrad dari varians populasi disebut standar deviasi.

Standar Deviasi

Standar deviasi disebut juga simpangan baku. Seperti halnya varians, standar deviasi juga merupakan suatu ukuran dispersi atau variasi.  Standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang paling banyak dipakai.  Hal ini mungkin karena standar deviasi mempunyai satuan ukuran yang sama dengan satuan ukuran data asalnya.  Misalnya, bila satuan data asalnya adalah cm, maka satuan standar deviasinya juga cm.  Sebaliknya, varians memiliki satuan kuadrat dari data asalnya (misalnya cm²).  Simbol standar deviasi untuk populasi adalah σ (baca: sigma) dan untuk sampel adalah s.

Standar Deviasi Untuk Populasi

                                      

Standar Deviasi Untuk Sampel

Contoh data tunggal

Untuk mendapatkan nilai variansi dan standar deviasi dari contoh di atas dapat kita lihat pada penjelasan berikut ini:

• Dari contoh tersebut diatas sudah jelas dari mana kita mendapatkan (xi – x)2 tersebut.
• Variansi yang akan kita pakai disini juga variansi sampel, karena data yang kita gunakan adalalah data sampel. Dari rumus diatas sudah jelas bagai mana kita dapat mendapatkan nilai tersebut.
• Jadi, Variansi: Sampel (s2) = 9.5 / 5 = 1.9. Varian sampel yang kita dapat yaitu: 1.9. dan Standar Deviasi (S) = √1.9 = 1.38.

Varians dan Standar Deviasi data Kelompok

Rumus varians dan standar deviasi untuk data kelompok adalah sebagai berikut

Contoh dari Varians dan Standar Deviasi untuk data berkelompok
Berikut merupakan nilai statistik dari 50 mahasiswa.

Kegunaan deviasi rata-rata dan deviasi standar

Baik deviasi rata-rata maupun deviasi standar keduanya berguna sebagai ukuran untuk mengetahui variabilitas data dan untuk mengetahui homogenitas data.

UJI BEDA RATA-RATA

INDEPENDENT SAMPLE 2 TEST (UJI PERBEDAAN 2 SAMPEL INDEPENDEN)
Untuk melakukan uji beda rata-rata dua sampel independen dapat terjadi pada beberapa kondisi. Kondisi pertama adalah dimana nilai varians populasi diketahui sedangkan kondisi kedua dimana nilai varians tidak diketahui.
Berikut merupakan statistik uji yang digunakan dengan kondisi varians populasi diketahui:

Rumus di atas dapat digunakan ketika menuhi asumsi dimana populasi harus berdistribusi normal, observasi sampel dilakukan secara independen, σ₁   dan σ₂  diketahui.
Kondisi kedua adalah uji beda rata-rata dimana nilai varians populasi tidak diketahui. Statistik uji yang cocok digunakan adalah nilai t statistik dengan formula sebagai berikut:

PAIRED SAMPLE 2 TEST (UJI DUA SAMPEL BERPASANGAN)
Perbedaan paired sample dengan independent sample adalah terletak pada kelompok yang kita bandingkan. Jika kelompok yang kita bandingkan berasal dari populasi yang berbeda maka disebut dengan independent sample. sebaliknya jika kelompok yang dibandingkan berasal dari populasi yang sama maka disebut paired sample. Contohnya adalah kita membandingkan tingkat kemiskinan di suatu daerah pada dua periode yang berbeda. Berikut merupakan formula yang dapat digunakan untuk uji beda rata-rata pada paired sample.

(perbedaan mean harus berdistribusi normal) dan tidak diketahui or dengan ukuran sampel n < 30.
Z=

 INDEPENDENT SAMPLE 2 TEST (UJI PERBEDAAN 2 SAMPEL INDEPENDEN)
Untuk melakukan uji beda rata-rata dua sampel independen dapat terjadi pada beberapa kondisi. Kondisi pertama adalah dimana nilai varians populasi diketahui sedangkan kondisi kedua dimana nilai varians tidak diketahui.
Berikut merupakan statistik uji yang digunakan dengan kondisi varians populasi diketahui:

Rumus di atas dapat digunakan ketika menuhi asumsi dimana populasi harus berdistribusi normal, observasi sampel dilakukan secara independen, σ₁   dan σ₂  diketahui.
Kondisi kedua adalah uji beda rata-rata dimana nilai varians populasi tidak diketahui. Statistik uji yang cocok digunakan adalah nilai t statistik dengan formula sebagai berikut:

PAIRED SAMPLE 2 TEST (UJI DUA SAMPEL BERPASANGAN)
Perbedaan paired sample dengan independent sample adalah terletak pada kelompok yang kita bandingkan. Jika kelompok yang kita bandingkan berasal dari populasi yang berbeda maka disebut dengan independent sample. sebaliknya jika kelompok yang dibandingkan berasal dari populasi yang sama maka disebut paired sample. Contohnya adalah kita membandingkan tingkat kemiskinan di suatu daerah pada dua periode yang berbeda. Berikut merupakan formula yang dapat digunakan untuk uji beda rata-rata pada paired sample.

(perbedaan mean harus berdistribusi normal) dan  tidak diketahui or dengan ukuran sampel n < 30.
Z=